Question

【题目】如图，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，．

求证：四边形是菱形；

若，如图所示：

①求证：；

②若，求的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出四边形ABFE是平行四边形，求出AB=AE，根据菱形的判定得出即可；
（2）①过O作ON∥BC交DC于N，根据矩形的判定得出四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质得出∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，求出N为DC的中点，ON⊥DC，根据线段垂直平分线性质得出OD=OC，即可得出答案；
②根据正方形的判定得出四边形ABFE是正方形，根据正方形的性质得出∠AEB=45°，根据三角形外角性质求出∠EDO=30°，求出∠ODC即可．

证明：∵四边形是平行四边形，

∴，即，

∵，

∴四边形是平行四边形，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

∴平行四边形是菱形；

①过作交于，

∵，，，

∴四边形是矩形，

∴，，

∴，

∵为的中点，

∴为的中点，，

∴，

∴，

∵，

∴；

②解：∵四边形是平行四边形，，，

∴四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．