Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．

（1）求A，B两点的坐标．

（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点，连结PC，PB．

①是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．

②连结AC，AP，AP交BC于点F，当∠CAP＝∠ABC时，求直线AP的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）A、B的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）；（2）①存在，见解析，面积的最大值为4，②.

【解析】

（1）令y=0，则x=1或-4，令x=0，则y=2，即可求解；

（2）①S△PBC=×PH×OB，即可求解；

②证明△ACF∽△BCA，求得：CF=，BF=BC-CF=，由BF2=（m-4）2+（m-2）2=（）2，即可求解．

（1）令y＝0，则x＝1或﹣4，令x＝0，则y＝2，

即点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣2）；

（2）①存在，理由：过点P作HP∥y轴交BC于点H，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，

故直线BC的表达式为：y＝x﹣2，

设点P坐标为（x，）、H（x，x﹣2），

S△PBC＝×PH×OB＝×（x﹣2）×4＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S△PBC有最大值，

当x＝2时，面积的最大值为4，此时点P（2，﹣3）；

②∠CAP＝∠ABC，∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△BCA，

∴AC2＝BCCF，其中AC＝，BC＝2，

故：CF＝，BF＝BC﹣CF＝，

设点F的坐标为（m，m﹣2），

则：BF2＝（m﹣4）2+（m﹣2）2＝（）2，

解得：m＝1或7（舍去m＝7），

故点F坐标（1，﹣），

将点A、F坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，

同理可得：直线AF（或直线AP）的表达式为：y＝﹣x﹣．