Question

16．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
（3）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，相加即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠DFQ，相加即可得出答案．

解答 （1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠EOM=∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠FOM=∠DFO，
∴∠EOM+∠FOM=∠BEO+∠DFO，
即：∠EOF=∠BEO+∠DFO；
（2）∠O+∠PFC=∠BEO+∠P，
证明：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P；

（3）解：∠O+∠Q=∠BEO+∠P+∠QFD，
理由是：
作OM∥AB，PN∥CD，QR∥AB，如图3，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥∥QR∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠DFQ，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠BEO+∠3+∠4+∠DFQ，
∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPQ．

点评 本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．