Question

9．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2017秒时，点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．

解答 解：∵A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2．
∵点P的运动速度为0.5米/秒，
∴从点A到点B所需时间=$\frac{2}{0.5}$=4（秒），
∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒．
∵$\frac{2017}{16}$=126…1，
∴移动到第2017秒和第1秒的位置相同，当P运动到第1秒时，如图所示，可得，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
如图所示，根据相似的性质可知，$\frac{PE}{OB}$=$\frac{AP}{AB}$，$\frac{PF}{AO}$=$\frac{BP}{AB}$，
则$\frac{PE}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{PF}{1}$=$\frac{3}{4}$，
解得：PE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，PF=$\frac{3}{4}$，
故点P的坐标为：（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．
故答案为：（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．