Question

已知：在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD的长为2，求BE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）由垂径定理证明△ADC为等边三角形，这是解决本题的关键结论；进而得到∠DAC=60°；证明∠BAD=∠BAC，即可解决问题．
（2）运用直角三角形的边角关系求出AE、DE的长，直接运用勾股定理即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵直径AB⊥CD于点E，
∴

BC

=

BD

，DE=CE，AB为CD的垂直平分线，
∴AC=AD；而CO⊥AD，
∴AF=DF，CF为AD的垂直平分线，
∴AC=DC，
∴AD=AC=DC，△ADC为等边三角形，
∴∠DAC=60°，而

BC

=

BD

，
∴∠BAD=∠BAC=

1

2

∠DAC=30°．
（2）如图，∵∠DAE=30°，AD=2，
∴DE=1；CE=DE=1；
∵cos30°=

AE

AD

，
∴AE=

3

；由相交弦定理得：AE•BE=DE•CE，
∴BE=

DE•CE

AE

=

1×1

3

=

3

3

．

点评：该题主要考查了垂径定理、勾股定理、相交弦定理、等边三角形的判定等几何知识点的应用问题；解题的关键是深入观察探究、大胆猜测推理、科学求解论证．