Question

探究：
（1）如图1，在ABC与ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连结BD、CE．请写出图1中所有全等的三角形：

 

（不添加字母）．
（2）如图2，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，l是过A点的直线，CN⊥l，BM⊥l，垂足为N、M．求证：△ABM≌△CAN．
解决问题：
（3）如图3，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，D在边BC上，DA=DE，∠ADE=90°，求证：AC⊥CE．
 

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠BAD=∠CAE，即可证明△ABD≌△ACE，即可解题；
（2）易证∠ACN=∠BAM，即可证明△ABM≌△CAN，即可解题；
（3）易证∠AED=∠DAE=45°，∠ABC=∠ACB=45°，即可证明△DFE∽△AFC，可得

EF

DF

=

CF

AF

，根据∠AFD=∠CFE，即可证明△CFE∽△AFD，可得∠FCE=∠DAE=45°，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠DAB+∠BAE=∠DAE=90°，∠BAE+∠CAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE，（SAS）；
（2）∵∠CAN+∠ACN=90°，∠CAN+∠BAM=90°，
∴∠ACN=∠BAM，
∵在△ABM和△CAN中，

∠ANC=∠AMB=90° ∠ACN=∠BAM AC=AB

，
∴△ABM≌△CAN，（AAS）
（3）
∵∠ADE=∠BAC=90°，AB=AC，AD=DE，
∴∠AED=∠DAE=45°，∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DFE=∠AFC，
∴△DFE∽△AFC，
∴

EF

DF

=

CF

AF

，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△CFE∽△AFD，
∴∠FCE=∠DAE=45°，
∴∠ACE=∠ACB+∠FCE=90°，即AC⊥CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACE和△ABM≌△CAN是解题的关键．