Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则CD为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OD、OE，先设CD=x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD=CE，OE=CD，从而得出OD=x，AD=4-x，可证明△AOD∽△ABC，再由比例式得出OD的长即可．

解答：解：连接OD、OE，
设CD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，OE=CD，
又∵OD=OE，
∴AD=AC-CD=4-x，OD=x，
∵∠ADO=∠C=90°，∠DAO=∠CAB，
∴△AOD∽OABC，
∴

AD

AC

=

OD

BC

，
∴

4-x

4

=

x

6

，
解得x=2.4，
∴CD=2.4
故答案为2.4．

点评：本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．