Question

已知实数a满足a²-3a+1=0，求下列各式的值：
（1）a+

1

a

的值；
（2）（a+

1

a

）²的值；
（3）a²+

1

a2

的值；
（4）a⁴+

1

a4

的值；
（5）（a-

1

a

）²的值；
（6）

a2+5a+1

a2-2a+1

的值；
（7）

a2

a4+1

的值；
（8）

a2

a4+a2+1

的值．

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：计算题

分析：（1）已知等式两边除以a变形求出a+

1

a

的值即可；
（2）把（1）结果两边平方即可；
（3）把（2）中结果利用完全平方公式变形即可；
（4）原式利用完全平方公式变形，把（3）中结果代入计算即可求出值；
（5）原式利用完全平方公式变形，把各自的值代入计算即可求出值；
（6）原式分子分母除以a变形，将a+

1

a

代入计算即可求出值；
（7）原式分子分母除以a²，把（3）中结果代入计算即可求出值；
（8）原式分子分母除以a²，把（3）中结果代入计算即可求出值．

解答：解：（1）a²-3a+1=0，变形得：a+

1

a

=3；
（2）∵a+

1

a

=3，
∴（a+

1

a

）²=9；
（3）a²+

1

a2

=（a+

1

a

）²-2=9-2=7；
（4）a⁴+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2=7-2=5；
（5）（a-

1

a

）²=a²+

1

a2

-2=5-2=5；
（6）原式=

a+ 1 a +5

a+ 1 a -2

=

3+5

3-2

=8；
（7）原式=

1

a2+ 1 a2

=

1

7

；
（8）原式=

1

a2+ 1 a2 +1

=

1

8

．

点评：此题考查了分式的化简求值，以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．