Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P在边AB上，点Q在边BC上，且BQ=x，AP=2x（0＜x＜5），连接PQ．
（1）设△BPQ的面积为y，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（2）当x为何值时，△BPQ与△ABC相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）过P作PD⊥BC于点D，利用x表示出PD，则可表示出△BPQ的面积，再利用二次函数求得其最大值；
（2）利用x表示出BQ和BP，分∠PQB=90°和∠QPB=90°分别利用相似三角形的对应边成比例可求得x．

解答：解：（1）过P作PD⊥BC于点D，如图，

∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
又∵BQ=x，AP=2x，
∴PB=10-2x，
∵PD∥AC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

，
即

PD

6

=

10-2x

10

，
∴PD=6-

6x

5

，
∴y=

1

2

BQ•PD=

1

2

x（6-

6

5

x）=-

3

5

x²+3x，
该二次函数开口向下，当x=

5

2

时y有最大值，最大值为

15

4

；
（2）∵∠PBQ=∠CBA，∠C=90°，
∴当△BPQ与△ABC相似时有两种情况，
①当∠PQB=90°时，则有

BP

AB

=

BQ

BC

，即

10-2x

10

=

x

8

，解得x=

40

13

；
②当∠QPB=90°时，则有

BP

BC

=

BQ

AB

，即

10-2x

8

=

x

10

，解得x=

25

7

；
综上可知，当x为

40

13

或

25

7

时，△BPQ与△ABC相似．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及二次函数的最值，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．