Question

【题目】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

【答案】

【1】∵△ABE是等边三角形，

∴AB=AE，∠EAF=60，

又∵∠BAC＝30，∠ACB=90，

∴∠ACB＝60， ∴∠EAF＝∠ACB，

又∵∠ACB="∠AEF=90" ，∴△ABC≌△EAF．

∴AC＝EF．

【2】∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC，∠DAC=60，

∴AD= EF，

又∵∠CAB=30，∴∠DAB=90，

∵∠AEF="90" ，∴AD∥EF

∴四边形ADFE是平行四边形．

【解析】证明：（1）∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF =∠AEB= 30，AE=AB，∠EFA= 90．

∵∠ACB= 90，∠BAC= 30，

∴∠EFA=∠ACB，∠AEF=∠BAC．

∴△AEF≌△BAC．

∴AC = EF．

（2）∵△ACD是等边三角形，

∴AC = AD，∠DAC= 60．

由（1）的结论得AC = EF，

∴AD= EF．

∵∠BAC= 30，

∴∠FAD=∠BAC+∠DAC= 90．

∵∠EFA= 90，

∴EF∥AD．

∵EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形．