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【题目】如图,在等边△ABC中,点DE分别在边BCAC上,且AE=CDBEAD相交于点PBQAD于点Q

(1)求证:AD=BE

(2)求∠PBQ的度数;

(3)若PQ=3PE=1,求AD的长.

【答案】(1)证明详见解析;(2)∠PBQ=30°;(3)AD=7.

【解析】

1)根据等边三角形的性质通过全等三角形的判定定理SAS证得△AEB≌△CDA根据全等三角形的性质即可得到结论

2)利用(1)中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°,再由直角三角形两锐角互余即可得到结论

3)由30度角所对的直角边是斜边的一半得到2PQ=BP=6则易求BE=BP+PE=7

1∵△ABC为等边三角形AB=CABAE=C=60°.

AEB与△CDA中,∵∴△AEB≌△CDASAS),∴AD=BE

2)由(1)知AEB≌△CDA则∠ABE=CAD∴∠BAD+∠ABE=BAD+∠CAD=BAC=60°,∴∠BPQ=BAD+∠ABE=60°.

RtPBQ,∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°;

3)∵PBQ=30°,PQ=BP=3BP=6BE=BP+PE=7AD=7

故答案为:7

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