Question

【题目】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）若∠COD=180°﹣α时，探索下面两个问题： ①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；
②当OC在OD右侧，请在图2内补全图形，并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，当∠COD=kα，且OC在OD左侧时，直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①如图1，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∴∠AOM+∠BON= （∠AOC+∠BOD），

∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，

∴∠AOM+∠BON= （2α﹣180°）=α﹣90°，

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°

②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，

∴∠AOM+∠BON= ×180°=90°，

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°

（2）解：∠MON的度数为 （1+k）α．

理由：如图3，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，

∴∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，

∴∠AOM+∠BON= （∠AOC+∠BOD），

∵∠AOB=α，∠COD=kα，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，

∴∠AOM+∠BON= （α﹣kα）= α（1﹣k），

∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣ α（1﹣k）= （1+k）α

【解析】（1）①根据角平分线的定义，得出∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根据∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，进而得出∠AOM+∠BON= （2α﹣180°）=α﹣90°，最后根据∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）进行计算即可；②根据①中的方法进行计算，即可得出∠MON的度数；（2）先根据角平分线的定义，得出∠AOM= ∠AOC，∠BON= ∠BOD，再根据∠AOB=α，∠COD=kα，得出∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，进而得到∠AOM+∠BON= （α﹣kα）= α（1﹣k），最后根据∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）进行计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角的平分线的相关知识，掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，以及对角的运算的理解，了解角之间可以进行加减运算；一个角可以用其他角的和或差来表示．