Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足r，则称点P为⊙O的“随心点”．

（1）当⊙O的半径r＝2时，A(4，0)，B(0，3)，C(，﹣)，D(﹣，﹣2)中，⊙O的“随心点”是　 　；

（2）若点E(6，8)是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径r＝4时，直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围　 　．

Answer 1

【答案】（1）B，D；（2）≤r≤20；（3）2≤b≤6或﹣6≤b≤﹣2

【解析】

（1）分别判断A、B、C、D四个点到圆心O的距离是否符合规定即可；

（2）先算出OE长度，再根据“随心点“的定义列出不等式组解出r的取值范围；

（3）r已知，因此先算出r和r的值，由解析式y＝﹣x+b可得M、N坐标，由于直线y＝x与y＝﹣x+b垂直，故联立两直线方程可解出交点P的坐标，然后用两点间的距离公式可得OP长度（注意b的符号未知，表示长度应加绝对值符号），线段MN上存在“随心点“，则意味着OM≥2且OP≤6，列出不等式组即可解出b的取值范围．

解：（1）∵r＝2，

∴r＝1，r＝3，

∵A（4，0），

∴OA＝4＞3，

∴A不是“随心点”；

∵B（0，3），

∴OB＝3，

∴B是“随心点”；

∵C（，﹣），

∴OC＝＝＜1，

∴C不是“随心点”；

∵D（﹣，﹣2），

∴OD＝＝，

∴D是“随心点”；

综上所述，⊙O的“随心点”是B、D，

故答案为：B、D；

（2）∵E（6，8），

∴OE＝＝10，

因为E是⊙O的“随心点”，

∴r≤OE≤r，即r≤10≤r，

解得≤r≤20；

（3）∵r＝4，

∴r＝2，r＝6，

直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，

∴M（b，0），N（0，b），

过点O且与直线y＝﹣x+b垂直的直线解析式为y＝x，

联立方程组：，解得：，

∴直线y＝﹣x+b与直线y＝x交点坐标为P（，），

∴OP＝，

∵线段MN上存在⊙O的随心点，

∴，

解得2≤b≤6或﹣6≤b≤﹣2．