Question

1．如图，把Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF的位置，BD的延长线交CF于点E，连接BC，若∠FBE=∠CBE，试确定CE与BD的关系．

Answer 1

分析 由旋转的性质得出△ACF≌△ABD，得出CF=BD，∠ACF=∠ABD，由直角三角形的性质和对顶角相等得出∠ACF+∠CDE=90°，因此∠CED=90°，CE⊥BD，由ASA证明△BCE≌△BFE，得出对应边相等BC=BF，由等腰三角形的三线合一性质得出CE=FE=$\frac{1}{2}$CF，即可得出结论．

解答 解：CE⊥BD，CE=$\frac{1}{2}$BD；理由如下：
由旋转的性质得：△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∵∠CDE=∠ADB，
∴∠ACF+∠CDE=90°，
∴∠CED=90°，
∴CE⊥BD，
即CE⊥BD，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠FBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\\{∠BEC=∠BEF=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴BC=BF，
∴CE=FE=$\frac{1}{2}$CF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．