Question

16．如图①，在等腰直角三角形BAD和等腰直角三角形EAC中，AB=AD，AE=AC，点E在AD上．

（1）猜想BE和DC有什么关系？并证明你的结论；
（2）将图①中的△AEC绕点A转动，得到图②和图③，（1）中的结论还成立吗？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）AD与BE相等且垂直；延长BE交CD于F，根据已知条件证得△ABE≌△ADC，由全等三角形的性质得到BE=CD，∠ABE=∠ADC，根据对顶角相等得到∠AEB=∠DEF，于是得到结论；
（2）如图②，DC=BE，DC⊥BE仍然成立．由∠BAD=∠CAE=90°，得到∠BAE=∠DAC，推出△BAE≌△DAC（SAS），根据全等三角形的性质得到DC=BE，∠ABE=∠ADC，设AD、BE交点为G，CD，BE交于H，根据对顶角相等得到∠AGB=∠DGE，于是得到∠DHG=∠BAG=90°，即可得到结论；如图③，方法同图②．

解答 解：（1）①如图①，结论：DC=BE，DC⊥BE；
延长BE交CD于F，
在△ABE与△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠CAD=90°}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE=CD，∠ABE=∠ADC，
∵∠AEB=∠DEF，
∴∠EFD=∠BAE=90°，
∴BE⊥CD；

（2）如图②，DC=BE，DC⊥BE仍然成立．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴DC=BE，∠ABE=∠ADC，
设AD、BE交点为G，CD，BE交于H，
∵∠AGB=∠DGE，
∴∠DHG=∠BAG=90°，
∴CD⊥BE；
如图③，DC=BE，DC⊥BE仍然成立．
延长BE交CD于F，
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，
即∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴DC=BE，∠ABE=∠ADC，
设CD，BE交于H，
∵∠AHB=∠DHF，
∴∠DFB=∠BAD=90°，
∴CD⊥BE．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确的识图是解题的关键．