Question

11．已知：△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O是AB的中点，点D、E分别在直线AC，BC上，且∠DOE=90°，连接DE．
（1）如图1，求∠ODE的度数；
（2）如图2，取DE的中点F，连按BF，若∠COD=30°，AB=4，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠B=45°根据等腰三角形的性质得到CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，CO=AO=BO，求得∠A=∠BCO推出∠AOD=∠COE，得到△ADO≌△OCE，由全等三角形的性质得到DO=EO，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OF，根据等腰直角三角形的性质得到DO=OE，∠DOF=45°，OF⊥DE，由∠DOC=30°，得到∠COF=15°，求得∠FOB=75°根据直角三角形的性质得到DE=2DC推出△OED≌△DCO，根据全等三角形的性质得到BE=DC，等量代换得到DE=2BE，求得FE=BE，推出∠OFB=∠FOB，根据等腰三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵点O是AB的中点，
∴CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，CO=AO=BO，
∴∠A=∠BCO，∵∠DOE=90°，
∴∠DOC+∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△ADO与△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BCO=45°}\\{OC=AO}\\{∠A=∠BCO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△OCE，
∴DO=EO，
∵∠DOE=90°，
∴∠ODE=∠DEO=45°；

（2）连接OF，
∵∠DOE=90°，DO=OE，
∵F是DE的中点，
∴∠DOF=45°，OF⊥DE，
∵∠DOC=30°，
∴∠COF=15°，
∴∠FOB=75°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∵∠DOC=30°，∠ODE=∠ACO=45°，
∴∠CDE=60°，
∴∠DEC=30°，
∴DE=2DC，
在△OED与△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠COD=∠BOE}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△DCO，
∴BE=DC，
∴DE=2BE，
∴FE=BE，
∴∠EBF=15°，
∴∠FBO=30°，
∵∠FOB=75°，
∴∠OFB=75°，
∴∠OFB=∠FOB，
∴OB=BF=2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．