Question

3．如图：等边三角形ABC和CDE，
（1）找出图中的全等三角形；
（2）求∠AOB的度数；
（3）求证：PQ∥AE．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠DCE=∠BCA=60°，推出∠BCE=∠ACD得到△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠DAC=CBE，∠ADE=∠AEB；证得△QCB≌△PCA，△ECQ≌△DCP；
（2）根据∠DAC=CBE，∠BCE=∠ECD+∠BCD=120°，即可得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到CP=CQ，由∠PCQ=60°，于是得到△PCQ是等边三角形，求得∠QPC=PCA=60°，根据平行线的判定定理即可得到结论．

解答 （1）解：△ACD≌△BCE，△QCB≌△PCA，△ECQ≌△DCP，理由如下：
∵∠DCE=∠BCA=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，∠BCA+∠BCD=∠ECD+∠BCD，
即∠BCE=∠ACD
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=CBE，∠ADE=∠AEB；
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACP=∠BCQ=60°}\\{∠CBQ=∠PAC}\end{array}\right.$，
∴△QCB≌△PCA；
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECQ=∠DCP}\\{∠CEQ=∠CDP}\end{array}\right.$，
∴△ECQ≌△DCP；

（2）∵∠DAC=CBE，∠BCE=∠ECD+∠BCD=120°，
∠AOB=∠PAC+∠AEB=∠AEB+∠CBE=180-∠BCE=180°-120°=60°；

（3）证明：∵△ECQ≌△DCP，
∴CP=CQ，
∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠QPC=PCA=60°，
∴PQ∥AE．

点评 本题考查的是全等三角形的判定、等边三角形的性质，旋转的性质的综合运用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．