Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O₁，⊙O₂，…⊙O_n，为n个（n≥2）相等的圆，⊙O₁与⊙O₂相外切，⊙O₂与⊙O₃相外切…，⊙O_n-1与⊙O_n相外切，⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n都与AB相切，且⊙O₁与AC相切，⊙O_n与BC相切，求这些等圆的半径r（用n表示）．

Answer 1

分析 连接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，根据△ABC的面积=△AO₁ C的面积+△BO_nC的面积+△CO₁ O_n的面积+梯形AO₁O_nB的面积，即可得出结果．

解答 解：连接AO₁，BO_n，CO₁，CO_n，O₁O_n，如图所示：
则${S}_{△A{O}_{1}C}=\frac{1}{2}AC•r$=2r，${S}_{△B{O}_{n}C}=\frac{1}{2}BC•r$=$\frac{3}{2}$r
∵等圆⊙O₁，⊙O₂，…，⊙O_n依次外切，且均与AB边相切，
∴O₁，O₂，…，O_n均在直线O₁O_n上，且O₁O_n∥AB，
∴O₁O_n=（n-2）2r+2r=2（n-1）r．
过点C作CH⊥AB于点H，交O₁O_n于点K，
则CH=$\frac{12}{5}$，CK=$\frac{12}{5}$-r．
${S}_{△C{O}_{1}{O}_{n}}$=$\frac{1}{2}$O₁O₂•CK=（n-1）（$\frac{12}{5}$-r）r，${S}_{梯形A{O}_{1}{O}_{n}B}$=$\frac{1}{2}$[2（n-1）r+5]r=[（n-1）+$\frac{5}{2}$]r，
∵△ABC的面积=△AO₁ C的面积+△BO_nC的面积+△CO₁ O_n的面积+梯形AO₁O_nB的面积，
∴6=$\frac{3}{2}$r+2r+（n-1）（$\frac{12}{5}$-r）r+[（n-1）r+$\frac{5}{2}$]r，
解得：r=$\frac{5}{2n+3}$，
即这些等圆的半径r=$\frac{5}{2n+3}$．

点评 本题考查了相切两圆的性质、三角形面积的计算方法；解决此题的关键是根据三角形的面积的不同计算方法进行计算．