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【题目】如图,正比例函数yx与一次函数yax+7的图象相交于点P4n),过点A20)作x轴的垂线,交一次函数的图象于点B,连接OB

1)求a值;

2)求OBP的面积;

3)在坐标轴的正半轴上存在点Q,使POQ是以OP为腰的等腰三角形,请直接写出Q点的坐标.

【答案】(1)a=-1;(2)7;(3)点Q的坐标为(50)或(80)或(05)或(06

【解析】

1)先由点P在正比例函数图象上求得n的值,再把点P坐标代入一次函数的解析式即可求出结果;

2)易求点B坐标,设直线ABOP交于点C,如图,则点C坐标可得,然后利用△OBP的面积=SBCO+SBCP代入相关数据计算即可求出结果;

3)先根据勾股定理求出OP的长,再分两种情况:当OP=OQ时,以O为圆心,OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q1Q2,如图2,则点Q1Q2即为所求,然后利用等腰三角形的定义即可求出结果;当PO=PQ时,以P为圆心,OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q4Q3,如图3,则点Q4Q3也为所求,然后利用等腰三角形的性质即可求得结果.

解:(1)把点P4n)代入yx,得:n×43,∴P43),

P43)代入yax+7得,34a+7,∴a=﹣1

2)∵A20),ABx轴,∴B点的横坐标为2

∵点By=﹣x+7上,∴B25),

设直线ABOP交于点C,如图1,当x=2时,,∴C2),

∴△OBP的面积=SBCO+SBCP5+42×5)=7

3)过点PPDx轴于点D,∵P43),∴OD=4PD=3,∴

OP=OQ时,以O为圆心,OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q1Q2,如图2,则点Q1Q2即为所求,且Q250)、Q105);

PO=PQ时,以P为圆心,OP为半径作圆分别交y轴和x轴的正半轴于点Q4Q3,如图3,则点Q4Q3也为所求,

由于PO=PQ3,∴DQ3=DO=4,∴Q380),

过点PPFy轴于点F,同理可得:FQ4=FO=3,∴Q406).

综上所述,在坐标轴的正半轴上存在点Q,使△POQ是以OP为腰的等腰三角形,点Q的坐标为(50)或(80)或(05)或(06).

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