Question

6．已知如图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ=k，是否存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，要分两种情况①点Q与点B重合时的情况；②点Q与点B不重合时，由△ADP∽△PCQ相似的性质，可得AD：DP=PC：CQ，分别讨论解答．

解答 解：存在这样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似，理由如下：
根据题意，当Q点与B重合时，△ADP≌△PCQ，此时k=0；
当△ADP∽△PCQ时，AD：DP=PC：CQ，
∵正方形ABCD的边长为1，P是CD边的中点，
∴AD=1，PD=0.5，PC=0.5，CQ=1-k，
即1：0.5=0.5（1-k），解得k=0.75．
综上可知：k=0或0.75．

点评 本题考查了正方形的四条边都相等的性质，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边不明确，所以要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．