Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+3交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，交x轴正半轴于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上任意一点，设点P的横坐标为x．

①若点P在第二象限，过点P作PN⊥x轴于N，交直线AC于点M，求线段PM关于x的函数解析式，并求出PM的最大值；

②若点P是抛物线上任意一点，连接CP，以CP为边作正方形CPEF，当点E落在抛物线的对称轴上时，请直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+3；（2）①当x=﹣2时，线段PM的长有最大值，最大值为；②P点坐标为（﹣4，0）或（﹣，）或（2，0）或（﹣，）．

【解析】试题分析：（1）利用一次函数解析式确定当C（0，3），A（﹣4，0），然后利用待定系数法确定抛物线解析式；

（2）①设P（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则M（x，x+3），则PM=﹣x2﹣x+3﹣（x+3），然后根据二次函数的性质解决问题；

②作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，先证明△PEG≌△CPK得到CK=PG，设P（x，﹣x2﹣x+3），抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），则PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|，所以|x+1|=|﹣x2﹣x|，然后解绝对值方程求出x，从而得到满足条件的P点坐标．

试题解析：解：（1）当x=0时，y=x+3=3，则C（0，3）；

当y=0时，x+3=0，解得：x=﹣4，则A（﹣4，0），把A（﹣4，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+3；

（2）①设P（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则M（x，x+3），∴PM=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+

当x=﹣2时，线段PM的长有最大值，最大值为；

②作PK⊥y轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图．∵四边形PEFC为正方形，∴PE=PC，∠EPC=90°．∵∠PGE=∠PKC=90°，∴∠PEG=∠CPK，易得△PEG≌△CPK，∴CK=PG，设P（x，﹣x2﹣x+3），抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），∴PG=|﹣1﹣x|=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|，∴|x+1|=|﹣x2﹣x|，解方程x+1=﹣x2﹣x得：x1=﹣4，x2=﹣；

解方程x+1=x2+x得：x1=2，x2=﹣；

∴P点坐标为（﹣4，0）或（﹣）或（2，0）或（﹣）．