【题目】如图,正方形中,,P为CD边上的一点,过P点作BP的垂线交AD于点E,交BC的延长线于点F.
(1)判断线段DE、CF、CP之间的数量关系,并说明理由.
(2)若,,写出y与x之间的函数关系式.
【答案】(1)
(2)
【解析】
设CP=a,CF=b,DE=a,根据正方形与BP⊥EF得到△EDP∽△FCP∽△PCB,得到,代入即可得到a,b,c的关系,故可求解;
(2)根据三角形的面积公式得到=,再根据CP与CF之间的关系即可求出函数关系式.
设CP=a,CF=b,DE=a,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠PCF=90°,又∠EPD=∠FPC,∴△EDP∽△FCP
∵BP⊥EF,∴∠BPC+∠CPF=90°,
又∠F+∠CPF=90°
∴∠F=∠BPC,又∠PCB=∠FCP=90°,
∴△FCP∽△PCB
故△EDP∽△FCP∽△PCB,
得到,
即
得到
由①③得4c=4a-4b
即c=a-b,
故DE=CP-CF,
∴
(2)∵y==,
∵=a,
∴由①得b=
代入=8+2b=
故.
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【题目】矩形OABC的顶点A(-8,0),C(0,6),点D是BC边上的中点,抛物线y=ax2+bx经过A,D两点,如图所示.
(1)求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a,b的值;
(2)将抛物线y=ax2+bx向下平移,记平移后点A的对应点为A1,点D的对应点为D1,当抛物线平移到某个位置时,恰好使得点O是y轴上到A1,D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点,求平移后的抛物线解析式.
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【题目】(1)如图①,在四边形中,,点是的中点,若是的平分线,试判断,,之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法:延长交的延长线于点,易证得到,从而把,,转化在一个三角形中即可判断.
,,之间的等量关系________;
(2)问题探究:如图②,在四边形中,,与的延长线交于点,点是的中点,若是的平分线,试探究,,之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为
A. 1或 B. -或 C. D. 1
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【题目】二次函数y=的图象如图,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3…An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An1BnAn
=60°,菱形An﹣1BnAnCn的周长为 .
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’,连接A'C,则A'C的长为( )
A. 6B. 4+2C. 4+3D. 2+3
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【题目】阅读下列材料:有这样一个问题:关于的一元二次方程有两个不相等的且非零的实数根探究,,满足的条件.
小明根据学习函数的经验,认为可以从二次函数的角度看一元二次方程,下面是小明的探究过程:①设一元二次方程对应的二次函数为;
②借助二次函数图象,可以得到相应的一元二次中,,满足的条件,列表如下:
方程根的几何意义:
方程两根的情况 | 对应的二次函数的大致图象 | ,,满足的条件 |
方程有两个不相等的负实根 | ||
____________ | ||
方程有两个不相等的正实根 | ____________ | ____________ |
1)参考小明的做法,把上述表格补充完整;
(2)若一元二次方程有一个负实根,一个正实根,且负实根大于-1,求实数的取值范围.
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【题目】如图,抛物线y=x22x+3的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A. B.C的坐标;
(2)判断以点A、C、D为顶点的三角形的形状,并说明理由;
(3)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A.B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,可得矩形PQNM.如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长.
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