Question

如图1，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD互相垂直，则：
（1）证明：AD²+BC²=AB²+CD²．
（2）如图2，当△AOD以点O为旋转中心，逆时针旋转θ度（0＜θ＜90），问上面的结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）如图1，证明AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²；证明AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²，得到AD²+BC²=AB²+CD²．
（2）如图2，作辅助线；证明△AOM∽△DON，得到

AO

DO

=

OM

ON

①；证明△AOD∽△COB，

AO

CO

=

DO

BO

，

AO

DO

=

CO

BO

②，进而得到

OM

ON

=

CO

BO

，故OB•OM=OC•ON．证明AB²=BM²+AM²=OA²+OB²-2OB•OM③，同理可求：CD²=OC²+OD²+2OC•ON④，由③+④得：AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²；而AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²，得到AD²+BC²=AB²+CD²．

解答：解：（1）如图1，∵AC⊥BD，
∴AD²=OA²+OD²，BC²=OB²+OC²，
∴AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²；
同理可证：
AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²．
（2）结论AD²+BC²=AB²+CD²，仍然成立；
理由如下：
如图2，过点A作AM⊥BO，过点D作DN⊥CO，
交CO的延长线于点N；
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOB+∠DOC=180°；而∠DON+∠DOC=180°，
∴∠AOB=∠DON，即∠AOM=∠DON，
∴△AOM∽△DON，
∴

AO

DO

=

OM

ON

①；在图1中，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO；在图2中，由题意得：
∠ADO=∠CBO，∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△COB，
∴

AO

CO

=

DO

BO

，

AO

DO

=

CO

BO

②，
由①②知：

OM

ON

=

CO

BO

，
∴OB•OM=OC•ON．
由题意得：AB²=BM²+AM²
=（BO-OM）²+AO²-MO²
=OB²-2OB•OM+OM²+OA²-OM²
=OA²+OB²-2OB•OM③，
同理可求：CD²=OC²+OD²+2OC•ON④，
∴由③+④得：
AB²+CD²=OA²+OB²+OC²+OD²；
而AD²+BC²=OA²+OB²+OC²+OD²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²．

点评：该题主要考查了旋转变换、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，数形结合，准确找出图形中隐含的数量关系．