Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直线，点P是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PA=

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OA、AD，可求得∠ACP=∠APC=30°，可证明△AOD为等边三角形，可求得∠PAO=90°，可证明PA为⊙O的切线；
（2）结合（1）可得到OP=2AO，在Rt△APO中由勾股定理可求得AO，可求得直径．

解答：（1）证明：
连接OA、AD，如图，

∵CD为⊙O的直径，
∴∠DAC=90°，
又∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
又PA=AC，OA=OD，
∴△ADO为等边三角形，
∴∠P=30°，∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠PAD=30°，
∴∠PAD+∠DAO=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：
由（1）可知△APO为直角三角形，且∠P=30°，
∴PO=2AO，且PA=

3

，
由勾股定理可得PO²=AO²+PA²，可解得AO=1，
∴CD=2，即⊙O的直径为2．

点评：本题主要考查切线的判定和性质，掌握切线的证明方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点证明垂直，没有切点时，作垂直证明距离等于半径．注意这类问题的常用辅助线的作法．