Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①b²-4ac＞0；②a+b+c＜0；③abc＜0；④8a+c＞0；⑤方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3，其中正确结论的个数是（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用x=1时函数值为负数可对②进行判断；由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a＜0，由抛物线与y轴交点位置得c＜0，于是可对③进行判断；由于x=-2时，y＞0，得到4a-2b+c＞0，然后把b=-2a代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与x轴的交点问题可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b²-4ac＞0，所以①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴交点位于y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以③错误；
∵x=-2，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
而b=-2a，
∴8a+c＞0，所以④正确；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），
即x=-1或3时，y=0，
∴方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3，所以⑤正确．
故选B．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．