Question

如图，AD为△ABC的角平分线，BF⊥AD的延长线于点F，AM⊥AD于A交BC的延长线于M，FC的延长线交AM于E．求证：AE=EM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：如图，作辅助线；证明BF=NF；证明

BF

EM

=

NF

AE

，结合BF=NF，即可解决问题．

解答：解：如图，分别延长BF、AC交于点N；
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAF=∠NAF；
在△ABF与△ANF中，

∠BAF=∠NAF AF=AF ∠AFB=∠AFN

，
∴△ABF≌△ANF（ASA），
∴BF=NF；
∵BN⊥AF，AM⊥AF，
∴BN∥AM，
∴△BCF∽△MCE，

BF

EM

=

FC

CE

①；
同理可证：

NF

AE

=

NC

AC

②，

FC

CE

=

NC

AC

③，
由①②③知：

BF

EM

=

NF

AE

，而BF=NF，
∴AE=EM．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等或相似三角形．