Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动．当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动．设点P、Q同时出发，并运动了t秒，
（1）直角梯形ABCD的面积为48cm²，△QDC面积为15t（用含t的代数式表示）
（2）当t=$\frac{4}{9}$秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）当t为何值时，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥BC于E，判断出四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等求出DE、BE，再利用勾股定理列式求出CE，然后求出BC，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解，再利用三角形的面积公式列式表示出△QDC的面积；
（2）表示出PD、CQ，然后根据平行四边形对边平行且相等列出方程，然后求解即可；
（3）表示出BQ，然后利用勾股定理列出方程求解即可；
（4）求出△CPQ和△CED相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出t的值，再根据CQ的长度判断即可．

解答 解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠B=90°，AD∥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=6cm，
BE=AD=4cm，
由勾股定理得，CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8cm，
∴BC=BE+CE=4+8=12cm，
∴直角梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$×（4+12）×6=48cm²；
△QDC面积=$\frac{1}{2}$QC•AB=$\frac{1}{2}$×5t•6=15t；

（2）AP=4t，CQ=5t，
所以，DP=AD-AP=4-4t，
∵四边形PQCD成为平行四边形，
∴DP=CQ，
∴4-4t=5t，
解得t=$\frac{4}{9}$；

（3）∵CQ=5t，BC=12，
∴BQ=12-5t，
∵AQ=CD，
∴$\sqrt{{6}^{2}+（12-5t）^{2}}$=10，
解得t=$\frac{4}{5}$；

（4）∵点P在CD上，
∴CP=14-t，
∵PQ⊥CD，
∴∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠CED，
又∵∠C=∠C，
∴△CPQ∽△CED，
∴$\frac{CP}{CE}$=$\frac{CQ}{CD}$，
即$\frac{14-4t}{8}$=$\frac{5t}{10}$，
解得t=$\frac{7}{4}$，
此时，CQ=$\frac{7}{4}$×5=$\frac{35}{4}$＜BC，
∴存在t=$\frac{7}{4}$秒，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC．
故答案为：（1）48，15t；（2）$\frac{4}{9}$．

点评 本题是四边形综合题型，主要利用了直角梯形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，要注意（4）需要根据CQ与BC的长度进行判断．