Question

14．在△ABO中，∠AOB=90°，OA=OB=10，分别以边OA、OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点P自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止．同时点D自原点O出发沿x轴正方向匀速运动．在点P、D运动的过程中，始终满足PO=PD，过点O、D向直线AB做垂线，垂足分别为点C、E，设OD=x．
（1）求证：PC=BE；
（2）在点P、D运动的过程中，线段PE的长是否是一个定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，说明理由；
（3）设以点P、O、D、E为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图根据等腰三角形的性质和点P的位置讨论PC与PE的相等关系；（2）由（1）中的讨论可知PE的长为定值；（3）分0≤x＜10，10≤x≤20两种情况，结合图形求得四边形PODE面积用x表示表达式．

解答 解：如图：

当0＜x＜10时，如图1，在RT△AOB中，AO=BO，故∠4=45°
∵OC⊥AB，∴$∠3=\frac{1}{2}∠AOB=45°$
∴∠3=∠4
∵PO=PD∴∠POD=∠PDO
即∠1+∠3=∠2+∠4
∴∠1=∠2
∵DE⊥AB，∴∠PCO=∠DEP=90°
∴△POC≌△DPE（AAS）…（2分）
∴PC=DE
而△DEB为等腰RT△，∴DE=BE
∴PC=BE…（1分）
当x=10时，PC=BE=0…（1分）
当10＜x＜20时，如图2，由上可知∠3=∠4=45°
且△DEB为等腰RT△，DE=BE，∠5=45°
∵PO=PD
∴∠1=∠2
∵∠CPO=∠1+∠3且∠PDE=∠2+∠5
∴∠CPO=∠PDE
且∠OCP=∠PED=90°
∴△POC≌△DPE（AAS）…（2分）
∴PC=DE=BE…（1分）
当x=0或20时，PC=BE=$5\sqrt{2}$…（1分）
（2）PE为定值，由（1）得当0≤x≤20时，PE=OC=$5\sqrt{2}$…（2分）
（3）当0＜x＜10时，如图，
①当0＜x＜10时
S_{四边形PODE}=S_△AOB-S_△AOP-S_△DEB
=$\frac{1}{2}×10×10-\frac{1}{2}×10×\frac{x}{2}-\frac{1}{2}（10-x）×\frac{1}{2}（10-x）$
=$-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{5}{2}x+25$
∴$y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{5}{2}x+25$；
②当10＜x＜20时，
${S}_{四边形PO{D}^{′}{E}^{′}=}{S}_{△PO{D}^{′}}+{S}_{△{D}^{′}O{E}^{′}}$
=$\frac{1}{2}x（10-\frac{x}{2}）+\frac{1}{2}x•\frac{x-10}{2}$
=$\frac{5}{2}x$
∴$y=\frac{5}{2}x$…（2分）

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到求几何图形面积通过几个三角形的面积求得．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．