【题目】探究:如图1和图2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.
(1)①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ;
②如图2,若∠B、∠D都不是直角,但满足∠B+∠D=180°,线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.点D、E均在边BC边上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的长.
【答案】(1)①EF=BE+DF;②成立,理由详见解析;(2)DE=.
【解析】
(1)①根据旋转的性质得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案;
②根据旋转的性质作辅助线,得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G在一条直线上,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案;
(2)如图3,同理作旋转三角形,根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根据旋转的性质得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD=∠DAE=45°,证△FAD≌△EAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,根据勾股定理得出方程,求出x即可.
解:(1)∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠ADG=90°
∴F、D、G共线,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,
即∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
∵,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=DF+DG=BE+DF,
故答案为:EF=BE+DF;
②成立,
理由:如图2,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,
则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADG=180°,
∴C、D、G在一条直线上,
与①同理得,∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中,
∵,
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=BE+DF;
(2)解:∵△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,
由勾股定理得:BC==4,
如图3,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF,
则AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,
∵∠DAE=45°,
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=90°﹣45°=45°,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
在△FAD和△EAD中,
∴△FAD≌△EAD(SAS),
∴DF=DE,
设DE=x,则DF=x,
∵BC=4,
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x,
∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,
∴∠FBD=90°,
由勾股定理得:DF2=BF2+BD2,
x2=(3﹣x)2+12,
解得:x=,
即DE=.
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【题目】如图,已知直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,A点的横坐标为3,则下列结论:①k=6;②A点与B点关于原点O中心对称;③关于x的不等式<0的解集为x<﹣3或0<x<3;④若双曲线y=(k>0)上有一点C的纵坐标为6,则△AOC的面积为8,其中正确结论的个数( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,把一块含30°角的三角板的直角顶点放在反比例函数y=-(x<0)的图象上的点C处,另两个顶点分别落在原点O和x轴的负半轴上的点A处,且∠CAO=30°,则AC边与该函数图象的另一交点D的坐标为__________.
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【题目】2020年3月24日,工信部发布《关于推动加快发展的通知》,全力推进网络建设、应用推广、技术发展和安全保障.工信部提出,要培育新型消费模式,加快用户向迁移,推动“医疗健康”创新发展,实施“工业互联网”512工程,促进“车联网”协同发展,构建应用生态系统.现“网络”已成为一个热门词汇,某校为了解九年级学生对“网络”的了解程度,对九年级学生行了一次测试(一共10道题答对1道得1分,满分10分),测试结束后随机抽取了部分学生的成绩整理分析,绘制出如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
(1)请补全条形统计图,扇形统计图中 __;
(2)所调查学生成绩的众数是_ ____分,平均数是_ 分;
(3)若该校九年级学生有人,请估计得分不少于分的有多少人?
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【题目】如图,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标A(﹣1,3),与x轴的一个交点B(﹣4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a﹣b=0;②abc<0;③抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根;⑤当﹣4<x<﹣1时,则y2<y1.
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
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【题目】今年是脱贫攻坚最后一年,某镇拟修一条连通贫困山区村的公路,现有甲、乙两个工程队.若甲、乙合作,36天可以完成,需用600万元;若甲单独做20天后,剩下的由乙做,还需40天才能完成,这样所需550万元.
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?
(2)求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元?
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点(不与点A、B重合),D是的中点,DE⊥AB于点E,过点C作半圆O的切线,交ED的延长线于点F.
(1)求证:∠FCD=∠ADE;
(2)填空:
①当∠FCD的度数为 时,四边形OADC是菱形;
②若AB=2,当CF∥AB时,DF的长为 .
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,D是BC边上一点,且CD=3BD,连接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC',DC′与AB交于点E,连接BC′,则△BDC'的面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】矩形ABCD,AB=6,BC=8,四边形EFGH的顶点E、G在矩形的边AD、BC上;顶点F、H在矩形的对角线BD上.
(1)如图1,当四边形EFGH是平行四边形时,求证:△DEH≌△BGF.
(2)如图2,当四边形EFGH是正方形时,求BF的长.
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