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【题目】探究:如图1和图2,四边形ABCD中,已知ABAD,∠BAD90°,点EF分别在BCCD上,∠EAF45°.

1如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使ABAD重合,直接写出线段BEDFEF之间的数量关系   

如图2,若∠B、∠D都不是直角,但满足∠B+D180°,线段BEDFEF之间的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC90°,ABAC2.点DE均在边BC边上,且∠DAE45°,若BD1,求DE的长.

【答案】1EFBE+DF成立,理由详见解析;(2DE

【解析】

1)①根据旋转的性质得出AEAG,∠BAE=∠DAGBEDG,求出∠EAF=∠GAF45°,根据SAS推出EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EFGF,即可求出答案;

②根据旋转的性质作辅助线,得出AEAG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出CDG在一条直线上,根据SAS推出EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EFGF,即可求出答案;

2)如图3,同理作旋转三角形,根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C45°BC4,根据旋转的性质得出AFAE,∠FBA=∠C45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD=∠DAE45°,证FAD≌△EAD,根据全等得出DFDE,设DEx,则DFxBFCE3x,根据勾股定理得出方程,求出x即可.

解:(1)∵把ABE绕点A逆时针旋转90°ADG,使ABAD重合,

AEAG,∠BAE=∠DAGBEDG,∠B=∠ADG90°

∵∠ADC90°

∴∠ADC+ADG90°

FDG共线,

∵∠BAD90°,∠EAF45°

∴∠BAE+DAF45°

∴∠DAG+DAF45°

即∠EAF=∠GAF45°

EAFGAF中,

∴△EAF≌△GAFSAS),

EFGF

BEDG

EFGFDF+DGBE+DF

故答案为:EFBE+DF

②成立,

理由:如图2,把ABEA点旋转到ADG,使ABAD重合,

AEAG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG

∵∠B+ADC180°

∴∠ADC+ADG180°

CDG在一条直线上,

与①同理得,∠EAF=∠GAF45°

EAFGAF中,

∴△EAF≌△GAFSAS),

EFGF

BEDG

EFGFBE+DF

2)解:∵△ABC中,ABAC2,∠BAC90°

∴∠ABC=∠C45°

由勾股定理得:BC4

如图3,把AECA点旋转到AFB,使ABAC重合,连接DF

AFAE,∠FBA=∠C45°,∠BAF=∠CAE

∵∠DAE45°

∴∠FAD=∠FAB+BAD=∠CAE+BAD=∠BAC﹣∠DAE90°45°45°

∴∠FAD=∠DAE45°

FADEAD

∴△FAD≌△EADSAS),

DFDE

DEx,则DFx

BC4

BFCE41x3x

∵∠FBA45°,∠ABC45°

∴∠FBD90°

由勾股定理得:DF2BF2+BD2

x2=(3x2+12

解得:x

DE

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