Question

【题目】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC= ，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵OD⊥BC，

∴∠COE=∠BOE，

在△OCE和△OBE中，

∵ ，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，

∵OB是⊙O半径，

∴BE与⊙O相切．

（2）解：过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，

∴△ODH∽△OBD，

∴

又∵sin∠ABC= ，OB=9，

∴OD=6，

易得∠ABC=∠ODH，

∴sin∠ODH= ，即 = ，

∴OH=4，

∴DH= =2 ，

又∵△ADH∽△AFB，

∴ = ， = ，

∴FB=

【解析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论．（2）过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC= ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．