Question

【题目】综合题。

（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：BP=DE且BP⊥DE；
（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．
①若BC=2CE时，求证：BP⊥CF；
②若BC=nCE（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S1 ， △DPE的面积为S2 ．
求证：S1=（n+1）S2 ．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：延长BP交DE于点M，在△BCP与△DCE中，

∴△BCP≌△DCE（SAS）．

∴BP=DE，∠CBP=∠CDE,

∵∠CDE+∠E=90°，

∴∠CBP+∠E=90°

即BP⊥DE.

（2）

证明：①∵CP=CE，∠PCE=90°，

∴∠CPE=45°，

∴∠FPD=∠CPE=45°，

∴∠PFD=45°，

∴FD=DP．

∵BC=2CE，

∴CD=2CE=2PC，

∴DP=CP，

∴FD=CP．

在△BCP与△CDF中， ，

∴△BCP≌△CDF（SAS）．

∴∠FCD=∠CBP，

∵∠CBP+∠BPC=90°，

∴∠FCD+∠BPC=90°，

∴∠PGC=90°，

即BP⊥CF．

②设CE=CP=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1．易知△FDP为等腰直角三角形，

∴FD=DP=n﹣1．

S1=S梯形BCDF﹣S△BCP﹣S△FDP= （BC+FD）CD﹣ BCCP﹣ FDDP= （n+n﹣1）n﹣ n×1﹣ （n﹣1）2= （n2﹣1）；

S2= DPCE= （n﹣1）×1= （n﹣1）．

∵n2﹣1=（n+1）（n﹣1），

∴S1=（n+1）S2

【解析】（1）利用SAS即可证明△BCP≌△DCE，再利用全等三角形的性质即可得到BP=DE，∠CBP=∠CDE,再根据∠CDE+∠E=90°，得∠CBP+∠E=90°，即BP⊥DE.
（2）①在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF。
②设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分别求出S1与S2的值，得S1= （n2﹣1），S2= （n﹣1）．根据平方差公式可以得到S1=（n+1）S2结论成立。