Question

【题目】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1k2＝﹣1．

解决问题：

①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；

②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）①-；②点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值

解：（1）将A，B点坐标代入，得

，

解得，

抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1；

（2）①由直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，得

2m＝﹣1，

即m＝﹣；

故答案为：﹣；

②AB的解析式为y＝x+，

当PA⊥AB时，PA的解析式为y＝﹣2x﹣2，

联立PA与抛物线，得，

解得（舍），，

即P（6，﹣14）；

当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，

联立PB与抛物线，得，

解得（舍），

即P（4，﹣5），

综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；

（3）如图：

，

∵M（t，﹣t2+t+1），Q（t， t+），

∴MQ＝﹣t2+

S△MAB＝MQ|xB﹣xA|

＝（﹣t2+）×2

＝﹣t2+，

当t＝0时，S取最大值，即M（0，1）．

由勾股定理，得

AB＝＝，

设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得

h＝＝．

点M到直线AB的距离的最大值是．