Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：∠DAN=90°；
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明；
当四边形ADCE是正方形，若AB=3$\sqrt{2}$，求正方形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线的定义和邻补角的定义即可得出∠DAN的度数；
（2）利用有三个内角是直角的四边形是矩形的判断方法即可；
（3）利用邻边相等的矩形是正方形，求出正方形的边长，从而求出正方形的面积．

解答
（1）证明：如图1，∵AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC．
∵AN是△ABC外角的平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}∠$CAM，
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM=180°，
∴∠DAN=∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°，
（2）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AN，∠DAN=90°，
∴∠ADC=∠CEA=∠DAN=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

（3）解：如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形．
∵∠BAC=90°，且AB=AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC=45°，
∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=AC．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
由勾股定理，得$\sqrt{{AD}^{2}{+CD}^{2}}$=AC，
∵AD=CD，
∴$\sqrt{2}$AD=3$\sqrt{2}$，
∴AD=3，
∴正方形ADCE的面积=AD²=3×3=9．

点评 本题是四边形的综合题，主要考查正方形的判断方法，涉及到知识有，等腰三角形的三线合一的性质，如由AB=AC，AD⊥BC得到∠CAD=$\frac{1}{2}∠$BAC，三角形的外角的平分线，勾股定理；本题的关键是整体计算∠DAN=∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠CAM）=90°．