Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，AE=AD．连接DE、AC交于F，连接BF．则有下列3个结论：
①∠DEC=60°；②△ACD≌△ACE；③△CDE为等边三角形；
其中正确的结论是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、③
• D、①②③

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,直角梯形

专题：

分析：证明AF⊥DE，且平分DE，得到CE=CD；证明∠FBC=60°；证明E、F、C、B四点共圆，得到∠DEC=∠FBC=60°，故①成立；由CD=CE，得到△CDE为等边三角形，故③成立；证明△ADC≌△AEC，故②成立．

解答：解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAD=90°，∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠DAF=90°-45°=45°；
∵AD=AE，AF平分∠DAE，
∴AF⊥DE，且平分DE，
∴CE=CD；而∠BCE=15°，
∴∠ECF=45°-15°=30°；
∴∠FBC=90°-30°=60°；
∵∠EBC+∠EFC=180°，
∴E、F、C、B四点共圆，
∴∠DEC=∠FBC=60°，
故①成立；
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，故③成立；
在△ADC与△AEC中，

AD=AE AC=AC CD=CE

，
∴△ADC≌△AEC（SSS），
故②成立；
故答案为D．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的判定及其性质、四点共圆等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握等三角形的判定及其性质、等边三角形的判定及其性质、四点共圆等几何知识点．