Question

如图所示，△ABC是边长为4厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向运动，作CH⊥AB于H点，设P、Q运动的时间为t秒．
解答下列问题：
（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是

 

秒；
（2）在P、Q两点运动过程中，当t取何值时，△APQ≌△AHC？并请说明理由；
（3）当0＜t＜2时，∠APQ始终是直角，请画出示意图并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定,等边三角形的性质

专题：常规题型

分析：（1）根据题意得t+2t=12，然后解方程即可；
（2）根据等边三角形的性质得AH=2，由于∠PAQ=∠HAC，利用“SAS”，当AP=AH=2，AQ=AC=4时，△APQ≌△AHC，则4=2t=4，解得t=2（秒）；
（3）当0＜t＜2时，点P在AC上，点Q在AB上，如图，由于AP=t，AQ=2t，易得

AP

AH

=

AQ

AC

，加上∠PAQ=∠HAC，根据相似三角形的判定方法得到△PAQ∽△HAC，所以∠APQ=∠AHC=90°．

解答：解：（1）根据题意得t+2t=12，解得t=4，
即点P、Q从出发到相遇所用的时间是4秒；
故答案为4；
（2）当t=2秒时，△APQ≌△AHC．理由如下：
∵△ABC是边长为4厘米的等边三角形，CH⊥AB，
∴AH=2，
∵∠PAQ=∠HAC，
∴当AP=AH=2，AQ=AC=4时，△APQ≌△AHC，
∴4=2t=4，解得t=2（秒），
即当t=2秒时，△APQ≌△AHC；
（3）当0＜t＜2时，点P在AC上，点Q在AB上，如图，
则AP=t，AQ=2t，
∵

AP

AH

=

t

2

，

AQ

AC

=

2t

4

=

t

2

，

∴

AP

AH

=

AQ

AC

，
而∠PAQ=∠HAC，
∴△PAQ∽△HAC，
∴∠APQ=∠AHC=90°，
即∠APQ始终是直角．

点评：本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．也考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质．