Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，∠DCB=60°，AB+BC=8，则AC的长是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：设点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆O，然后根据圆周角定理以及勾股定理即可求出答案．

详解：设点O是AC的中点，以O为圆心，OA为半径作圆O，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴由圆周角定理可知：点D与B在圆O上，

∵BD平分∠ABC，

∴AD=CD，

∴∠DCA=45°，

∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=15°，

连接OB，过点E作BE⊥AC于点E，

∴由圆周角定理可知：∠AOB=2∠ACB=30°

∴OB=2BE，

∴AC=2OB=4BE，

设AB=x，

∴BC=8-x

∵ABBC=BEAC，

∴4BE2=x（8-x）

∴AC2=16BE2=4x（8-x）

由勾股定理可知：AC2=x2+（8-x）2

∴4x（8-x）=x2+（8-x）2

∴解得：x=4±

当x=4+时，

∴BC=8-x=4-

∴AC=

当x=4-时，

BC=8-x=4+时，

∴AC=

故答案为：