Question

【题目】如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出结论．

（2）连接AE．由圆周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函数定义求出直径AB＝20．证出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函数即可得出结果．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°．

∴∠A+∠ABD＝90°．

又∵∠A＝∠CBD，

∴∠CBD+∠ABD＝90°．

∴∠ABC＝90°．

∴AB⊥BC．

又∵AB是⊙O的直径，

∴BC为⊙O的切线．

（2）解：连接AE．如图所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝∠ADB＝90°．

∵∠BAD＝∠BED，

∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．

∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，

∵BD＝12，

∴AB＝20．

∵E为的中点，

∴AE＝BE．

∴△AEB是等腰直角三角形．

∴∠BAE＝45°．

∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝．