Question

【题目】某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润=销售额﹣生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

Answer 1

【答案】（1）y=x2，z=﹣x+30；（2）W==﹣x2+30x，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）今年最多可获得1080万元的毛利润.

【解析】

（1）结合图象，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；（2）根据毛利润=销售额﹣生产费用可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令y=0，解方程求得x的值，根据图象结合y的取值范围，求得x的取值范围，再由二次函数的性质即可解答.

（1）图①可得函数经过点（100，1000），

设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0），

将点（100，1000）代入得：1000=10000a，

解得：a=，

故y与x之间的关系式为y=x2．

图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），

设z=kx+b，则，

解得：，

故z与x之间的关系式为z=﹣x+30；

（2）W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2

=﹣x2+30x

=﹣（x2﹣150x）

=﹣（x﹣75）2+1125，

∵﹣＜0，

∴当x=75时，W有最大值1125，

∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；

（3）令y=360，得x2=360，

解得：x=±60（负值舍去），

由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，

由W=﹣（x﹣75）2+1125的性质可知，

当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，

故当x=60时，W有最大值1080，

答：今年最多可获得毛利润1080万元．