Question

【题目】已知，抛物线y＝m与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（其中点A在y轴左侧，点B在y轴右侧）．

（1）若抛物线y＝m的对称轴为直线x＝1，求抛物线的解析式；

（2）如图1，∠ACB＝90°，点P是抛物线y＝m上的一点，若S△BCP＝，求点P的坐标；

（3）如图2，过点A作AD∥BC交抛物线于点D，若点D的纵坐标为﹣m，求直线AD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P坐标为（，）或（，）；（3）

【解析】

（1）由对称轴x＝1，可求解；

（2）先求出点A，点B，点C坐标，由勾股定理可求m的值，即可求抛物线解析式，在y轴上选取点Q（0，3），则，过Q作PQ∥BC，则直线与抛物线的交点就是点P，可求PQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；

（3）由题意可得A（m，0），B（1，0），点C（0，m），可求出BC解析式，AD解析式，联立方程组，可求点D坐标，代入解析式可m的值，即可求解．

解：（1）∵抛物线y＝m的对称轴为直线x＝1，

∴对称轴直线为x==1，

∴m＝1，

∴抛物线解析式为y=．

（2）∵y＝m=，

∴当y＝0时，x1＝1，x2＝m，

∴点A（m，0），点B（1，0），

∴AB＝1﹣m，

∵C点坐标为（0，m），点A（m，0），点B（1，0），

∴AB2＝（m﹣1）2，AC2+BC2=1+()2+m2+()2＝1+m2，

∵∠ACB＝90°，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴1+m2＝（m﹣1）2，

∴m＝﹣4，

∴抛物线解析式为y=x2+x-2.

A（﹣4，0），B（1，0）C（0，﹣2），

∴.

如图1，在y轴上选取点Q（0，3），则，过Q作PQ∥BC，则直线与抛物线的交点就是点P，

∵B（1，0）C（0，﹣2），

∴直线BC解析式为：y＝2x﹣2，

则直线PQ解析式为：y＝2x+3，

∴

解得x1=,x2=.

∴P坐标为（，4-）或（，4+）。

（3）由题意知-m＞0，

∴m＜0，

∴A（m，0），B（1，0），且点C（0，m），

∴直线BC解析式为：y＝﹣mx+m，

∴AD解析式为： y=﹣m(x-m).

∴

解得：x1＝1﹣m，x2＝m（舍，这是A点的横坐标），

∴点D（1﹣m，﹣m）

∴-m(1-m-m)=m,

解得m＝-，

∴AD的解析式为y=.