Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为16，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值之和．

Answer 1

【答案】（1）90° （2）25 （3）

【解析】

（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；

（2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；

（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．

解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，

∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，

∴∠CC1A1＝∠CC1B+∠A1C1B＝45°+45°＝90°；

（2）∵△ABC≌△A1BC1，

∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，

∴，∠ABC+∠ABC1＝∠A1BC1+∠ABC1，

∴∠ABA1＝∠CBC1，

∴△ABA1∽△CBC1，

∴，

∵S△ABA1＝16，

∴S△CBC1＝25；

（3）如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝；

①当P在AC上运动至BP⊥AC时，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣2；

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝2+5＝7；

因此，线段EP1长度的最大值与最小值的和为：7+﹣2=．