【题目】如图1,△ABC中,∠C=90°,若AC=6,BC=8,AD平分∠CAB交CB于D.
(1)求CD的长;
(2)如图2,E是AC上一点,连ED,过D作DE的垂线交AB于F,若ED=DF,求CE的长;
(3)如图3,在(2)条件下,点P在FD延长线上,过F作ED的平行线QF,连PE、PQ,若∠QPF=2∠PED=2α,PQ=5PD,(QF>PF),求QF.
【答案】(1)CD=3;(2)CE=1;(3)QF=.
【解析】
(1)过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,利用勾股定理列式求出AB,然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD列方程求解即可.
(2)过F作FG⊥BC于G,证明:△CDE≌△GFD,△BGF∽△BCA,即可求解;
(3)过P作∠QPF的平分线交FQ于G,过G作GH⊥PQ于H,证明Rt△PFG≌Rt△PHG,△PED∽△GPF,设PD=x,建立方程求解即可.
(1)如图1,过点D作DE⊥AB于E,
∵∠ACB=90°,AD平分∠CAB,
∴CD=DE,
在△ABC中由勾股定理得:AB==10,
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD,
∴×AC×BC=×AC×CD+×AB×DE,即×6×8=×6×CD+×10×CD,
解得:CD=3;
(2)如图2,过F作FG⊥BC于G,则∠C=∠FGD=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,
∴∠CDE+∠CED=∠CDE+∠FDG=90°,
∴∠CED=∠FDG,
在△CDE与△GFD中
,
∴△CDE≌△GFD(AAS),
∴CE=DG,FG=CD=3,
∵FG∥AC,
∴△BGF∽△BCA,
∴=,
∴BG=4,
∴CE=DG=1;
(3)如图3,在Rt△CDE中,DE=DF==,
∵PQ=5PD,∴设PD=x,则PQ=5x,
∴PF=+x,过P作∠QPF的平分线交FQ于G,过G作GH⊥PQ于H,
∵FQ∥DE,∴∠QFP=∠EDP=90°,
∴GH=GF,在Rt△PFG与Rt△PHG中,,
∴Rt△PFG≌Rt△PHG(HL),
∴PH=PF=+x,
∵∠QPF=2∠PED=2∠FPG=2α,
∴∠PED=∠FPG,
∴△PED∽△GPF,
∴=,即=,
∴FG=,
∴HG=FG=,
∵QH=PQ﹣PH=4x﹣,
∴QG=,FQ=QG+FG=,
∵△QGH∽△QPF
∴=,即GHFQ=PFQG
∴×=(+x)×,解得:x1=(舍去),x2=,
∴QF=.
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【题目】如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为( )
A. (,)B. (2,)C. (,)D. (,3﹣)
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【题目】某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为w万元.(毛利润=销售额﹣生产费用)
(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;
(2)求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少?
(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是线段BC上一点,以O为圆心,OC为半径作⊙O,AB与⊙O相切于点F,直线AO交⊙O于点E,D.
(1)求证:AO是△CAB的角平分线;
(2)若tan∠D=,AE=2,求AC的长.
(3)在(2)条件下,连接CF交AD于点G,⊙O的半径为3,求CF的长.
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【题目】如图,一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的图象交于A(2,3),B(6,n)两点,与x轴、y轴分别交于C,D两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)求当x为何值时,y1>0.
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【题目】如图,已知抛物线(a≠0)的对称轴为直线,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与轴交于点B.
(1)若直线经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使MA+MC的值最小,求点M的坐标;
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点,求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标.
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【题目】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BA=AD=DC,点E在CB延长线上,BE=AD,连接AC、AE.
⑴ 求证:AE=AC;
⑵ 若AB⊥AC, F是BC的中点,试判断四边形AFCD的形状,并说明理由.
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【题目】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元,空调的销售价为每台1750元,每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元,商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.
求每台电冰箱与空调的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台,设购进电冰箱x台,这100台家电的销售总利润为y元,要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍,总利润不低于13000元,请分析合理的方案共有多少种?并确定获利最大的方案以及最大利润.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.
(1)如图1,当点C1在线段CA的延长线上时,求∠CC1A1的度数;
(2)如图2,连接AA1,CC1.若△ABA1的面积为16,求△CBC1的面积;
(3)如图3,点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,求线段EP1长度的最大值与最小值之和.
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