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【题目】如图1,△ABC中,∠C90°,若AC6BC8AD平分∠CABCBD

1)求CD的长;

2)如图2EAC上一点,连ED,过DDE的垂线交ABF,若EDDF,求CE的长;

3)如图3,在(2)条件下,点PFD延长线上,过FED的平行线QF,连PEPQ,若∠QPF2PEDPQ5PD,(QFPF),求QF

【答案】1CD3;(2CE1;(3QF

【解析】

1)过点DDEABE,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CDDE,利用勾股定理列式求出AB,然后根据SABCSACD+SABD列方程求解即可.

2)过FFGBCG,证明:△CDE≌△GFD,△BGF∽△BCA,即可求解;

3)过P作∠QPF的平分线交FQG,过GGHPQH,证明RtPFGRtPHG,△PED∽△GPF,设PDx,建立方程求解即可.

1)如图1,过点DDEABE

∵∠ACB90°,AD平分∠CAB

CDDE

在△ABC中由勾股定理得:AB10

SABCSACD+SABD

×AC×BC×AC×CD+×AB×DE,即×6×8×6×CD+×10×CD

解得:CD3

2)如图2,过FFGBCG,则∠C=∠FGD90°,

DEDF

∴∠EDF90°,

∴∠CDE+CED=∠CDE+FDG90°,

∴∠CED=∠FDG

在△CDE与△GFD

∴△CDE≌△GFDAAS),

CEDGFGCD3

FGAC

∴△BGF∽△BCA

BG4

CEDG1

3)如图3,在RtCDE中,DEDF

PQ5PD,∴设PDx,则PQ5x

PF+x,过P作∠QPF的平分线交FQG,过GGHPQH

FQDE,∴∠QFP=∠EDP90°,

GHGF,在RtPFGRtPHG中,

RtPFGRtPHGHL),

PHPF+x

∵∠QPF2PED2FPG

∴∠PED=∠FPG

∴△PED∽△GPF

,即

FG

HGFG

QHPQPH4x

QGFQQG+FG

∵△QGH∽△QPF

,即GHFQPFQG

×=(+x)×,解得:x1(舍去),x2

QF

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