[题目]如图.在菱形ABCD中.AB=AC.点E.F.G分别在边BC.CD上.BE=CG.AF平分∠EAG.点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．(1)求证:△AEH≌△AGH,(2)当AB=12.BE=4时:①求△DGH周长的最小值,②若点O是AC的中点.是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分.其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在.请求出的值,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．

(1)求证:△AEH≌△AGH；

(2)当AB=12，BE=4时：

①求△DGH周长的最小值；

②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）①；②存在，或

【解析】

（1）证明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再结合角平分线，即可利用SAS证明△AEH≌△AGH；

（2）①根据题意可得点E和点G关于AF对称，从而连接ED，与AF交于点H，连接HG，得到△DGH周长最小时即为DE+DG，构造三角形DCM进行求解即可；

②分当OH与AE相交时，当OH与CE相交时两种情况分别讨论，结合中位线，三角形面积进行求解即可.

解：（1）∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，

∵BE=CG，AB=AC，

∴△ABE≌△ACG，

∴AE=AG，

∵AF平分∠EAG，

∴∠EAH=∠GAH，

∵AH=AH，

∴△AEH≌△AGH；

（2）①如图，连接ED，与AF交于点H，连接HG，

∵点H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，

∴点E和点G关于AF对称，

∴此时△DGH的周长最小，

过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，

由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，

∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，

∴CM=CD=6，

∴DM=，

∵AB=12=BC，BE=4，

∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，

∴DE==DH+EH=DH+HG，

∴DH+HG+DG=

∴△DGH周长的最小值为；

②当OH与AE相交时，如图，AE与OH交于点N，

可知S△AON：S四边形HNEF=1:3，

即S△AON：S△AEC=1:4，

∵O是AC中点，

∴N为AE中点，此时ON∥EC，

∴，

当OH与EC相交时，如图，EC与OH交于点N，

同理S△NOC：S四边形ONEA=1:3，

∴S△NOC：S△AEC=1:4，

∵O为AC中点，

∴N为EC中点，则ON∥AE，

∴，

∵BE=4，AB=12，

∴EC=8，EN=4，

过点G作GP⊥BC，交BNC延长线于点P，

∵∠BCD=120°，

∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，

∴CG=2CP，

∵CG=BE=4，

∴CP=2，GP=，

∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

设EF=FG=x，则FC=8-x，FP=10-x，

在△FGP中，，

解得：x=，

∴EF=，

∴，

综上：存在直线OH，的值为或.

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>