Question

10．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F；若△CEF一边的长为2，则△CEF的周长为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{3}$
• B． 4+2$\sqrt{3}$或2+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$
• C． 2+2$\sqrt{3}$或2+$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$
• D． 4+2$\sqrt{3}$或2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，进而可证明△EDC是等边三角形，再根据当CE=2或EF=2，结合勾股定理即可求△CEF的周长．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-∠EDC=30°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
当ED=DC=EC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故△CEF的周长为2+2+2$\sqrt{3}$=4+2$\sqrt{3}$；
当EF=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则EC+FC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故△CEF的周长为2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的运用和30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出DF的长是解题关键．