Question

17．如图，△DEF是等边三角形，BC过点E，且平行于DF，又AB⊥ED，AC⊥EF，D，F是垂足．
（1）指出该图中有哪些等腰三角形（△DEF除外），并说明理由．
（2）若△DEF的边长为3，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）△ABC，△ADF是等腰三角形，由△DEF是等边三角形，得到∠EDF=∠EFD=60°，根据平行线的性质得到∠BED=∠EDF=60°，∠CEF=∠DFE=60°，由于AB⊥ED，AC⊥EF，得到∠B=∠C=30°，于是得到结果；
（2）由△DEF的边长为3，得到DE=EF=3，在R_t△BDE与R_t△CEF中，求得BE=CE=6，连接AE，则AE⊥BC，得到AB=AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE=3$\sqrt{3}$，即可得到结果．

解答 解：（1）△ABC，△ADF是等腰三角形，
理由：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠EFD=60°，
∵DF∥BC，
∴∠BED=∠EDF=60°，∠CEF=∠DFE=60°，
∵AB⊥ED，AC⊥EF，
∴∠BDE=∠CFE=90°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠ADF=∠B=∠AFD=∠C=30°，
∴△ABC，△ADF是等腰三角形；

（2）∵△DEF的边长为3，
∴DE=EF=3，
在R_t△BDE与R_t△CEF中，
∵∠B=∠C=30°，
∴BE=CE=6，
连接AE，则AE⊥BC，
∴AB=AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE=3$\sqrt{3}$，
∴△ABC的周长=AB+AB+BC=6$\sqrt{3}$+6．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．