Question

不定方程3x²+7xy-2x-5y-17=0的全部正整数解（x，y）的组数为

 

．

Answer 1

考点：非一次不定方程（组）

专题：

分析：首先原方程整理得：y=-

3x2-2x-17

7x-5

，由x，y是正整数，可得当y≥1，一定有：

3x2-2x-17

7x-5

＜0，当x≥1，则7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，然后分析x的取值，求得x的范围，继而求得答案．

解答：解：原方程整理得：y=-

3x2-2x-17

7x-5

，
∵x，y是正整数，
∴当y≥1，一定有：

3x2-2x-17

7x-5

＜0，
当x≥1，则7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，
该不等式整理得：（x-

1

3

）²＜

52

9

，
∴x＜

1+ 52

3

＜

8+1

3

=3，
∴1≤x＜3，
∴x的正整数解只可能是1或2；
当x=1时，y=8；
当x=2时，y=1．
∴共有2组解．
故答案为：2．

点评：此题考查了非一次不定方程的知识．此题难度较大，注意由题意可得当y≥1，一定有：

3x2-2x-17

7x-5

＜0，当x≥1，则7x-5＞0，一定有3x²-2x-17＜0，是解此题的关键．