Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；

（2）抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；

（3）若在抛物线上存在一点N，使得∠ANB=90°，结合图象，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) x=﹣1 , AB=4 ;(2) 点P的坐标为（﹣1，﹣ ）．a= ; (3) a≥ .

【解析】(1)、根据题意求出点A和点B的坐标，从而得出对称轴；(2)、设抛物线的对称轴与x轴交于点H，根据题意得出AH和PH的长度，从而得出点P的坐标，将其代入函数解析式得出a的值；(3)、以AB为直径作⊙H， 当∠ANB=90°， 点N在⊙H上，将x=－1代入y=－4a得出HP的长度，根据题意得出a的取值范围．

(1)、解：令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，AB=4；

(2)、解：如图1所示：设抛物线的对称轴与x轴交于点H，

∵∠APB=120°，AB=4，PH在对称轴上， ∴AH=2，∠APB=60°， ∴PH= ，

∴点P的坐标为（﹣1，﹣ ），将点P的坐标代入得：﹣ =﹣4a，解得a= ；

(3)、解：如图2所示：以AB为直径作⊙H， ∵当∠ANB=90°， ∴点N在⊙H上，

∵点N在抛物线上， ∴点N为抛物线与⊙H的交点， ∴点P在圆上或点P在圆外，

∴HP≥2， ∵将x=﹣1代入得：y=﹣4a， ∴HP=4a， ∴4a≥2，解得a≥ ，

∴a的取值范围是a≥ ．