Question

【题目】【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AC、BC上，且DE∥AB，易证AD＝BE（不需要证明）.

【探究】连结图①中的AE，点M、N、P分别为DE、AE、AB的中点，顺次连结M、N、P，其它条件不变，如图②，求证：△MNP是等腰直角三角形.

【应用】将图②中的点D、E分别移动到AC、BC的延长线上，其它条件不变，在连结BD，并取其中点Q，顺次连结M、N、P、Q，如图③，若＝，且DE＝，则四边形MNPQ的面积为 .

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：

(1) 要证明△MNP是等腰直角三角形，就是要证明MN=PN以及∠MNP=90°. 由“感知”环节可知容易证AD=BE，分析题意知MN与PN分别为△AED与△BAE的中位线，故不难证明MN=PN. 通过中位线得到的平行关系，利用同位角和内错角可将∠MNP转化为Rt△ACE的两锐角之和，容易证明∠MNP=90°，进而证明△MNP是等腰直角三角形.

(2) 分析题意可知，四边形MNPQ的四条边均为相应三角形的中位线. 据此不难证明四边形MNPQ是平行四边形. 根据等腰直角三角形ABC的相关条件可以证明∠NPQ为直角，进而证明四边形MNPQ是矩形. 根据已知条件不难求得AB的长，再根据等腰直角三角形ABC的相关条件可求得BC和AC的长，进而利用相似三角形可以求得EC和CD的长. 在此基础上根据中位线定理不难获得NP和PQ的长，进而求得矩形MNPQ的面积.

试题解析：

(1) 下面解答“探究”环节.

证明：∵DE∥AB，

∴，

∵AC=BC，

∴AD=BE.

∵点M与点N分别为DE与AE的中点，

∴MN∥AD， ，

∴∠MNE=∠CAE.

∵点N与点P分别为AE与AB的中点，

∴NP∥BE， ，

∴∠PNE=∠AEC.

∵AD=BE，

∴MN=PN.

∵∠C=90°，

∴在Rt△ACE中，∠CAE+∠AEC=90°，

∴∠MNP=∠MNE+∠PNE=∠CAE+∠AEC=90°.

∵MN=PN，∠MNP=90°，

∴△MNP是等腰直角三角形.

(2) 下面解答“应用”环节.

本小题应填写：4. 求解过程如下.

∵点M与点N分别为DE与AE的中点，

∴MN∥AD，

∵点P与点Q分别为AB与BD的中点，

∴PQ∥AD， ，

∴MN∥PQ.

同理，NP∥BE， ，MQ∥BE，

∴NP∥MQ.

∵MN∥PQ，NP∥MQ，

∴四边形MNPQ为平行四边形.

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ABC=∠BAC=45°，

∵NP∥BE，

∴∠APN=∠ABC=45°，

∵PQ∥AD，

∴∠BPQ=∠BAC=45°，

∴∠NPQ=180°-∠APN-∠BPQ=180°-45°-45°=90°，

∴平行四边形MNPQ为矩形.

∵， ，

∴，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AC=BC，

∴在Rt△ACB中， .

∴AC=BC=3.

∵DE∥AB，

∴△ECD∽△BCA，

∴，

∴， .

∴BE=BC+EC=3+1=4，AD=AC+CD=3+1=4.

∴， ，

∴矩形MNPQ的面积为，即四边形MNPQ的面积为4.