Question

7．如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上一个动点（点A与点B不重合），在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C，连接OC、CD．设点A的横坐标为t．
（1）用含t的式子表示点E的坐标为（t+4，8）；
（2）当t为何值时，∠OCD=180°？
（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E的坐标为（t+4，8）；
（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知$\frac{EC}{AB}=\frac{AE}{OB}$，可求得EC=$\frac{1}{2}t$，从而得到点C的坐标为（t+4，8-$\frac{1}{2}t$），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知$\frac{OF}{OH}=\frac{FC}{DH}$，即$\frac{t+4}{t+8}=\frac{8-\frac{1}{2}t}{8}$从而可解得t的值；
（3）三角形OCF的面积=$\frac{1}{2}×OF•FC$，从而可得S与t的函数关系式．

解答 解：（1）∵点B坐标为（0，8），
∴OB=8．
∵AD=OB，EF垂直平分AD，
∴AE=4．
∴BE=t+4．
∴点E的坐标为（t+4，8）；
（2）如图所示；过点D作DH⊥OF，垂足为H．

∵AC⊥OA，
∴∠OAC=90°．
∴∠BAO+∠EAC=90°．
又∵∠BOA+∠BAO=90°，
∴∠EAC=∠BOA．
又∵∠OBA=∠AEC，
∴△OBA∽△AEC．
∴$\frac{EC}{AB}=\frac{AE}{OB}$，即$\frac{EC}{t}=\frac{4}{8}$．
∴EC=$\frac{1}{2}t$．
∴点C的坐标为（t+4，8-$\frac{1}{2}t$）
∵∠OCD=180°，
∴点C在OD上．
∵CF∥DH，
∴$\frac{OF}{OH}=\frac{FC}{DH}$，即$\frac{t+4}{t+8}=\frac{8-\frac{1}{2}t}{8}$
解得：${t}_{1}=4\sqrt{5}-4$，${t}_{2}=-4\sqrt{5}-4$（舍去）．
所以当t=4$\sqrt{5}$-4时，∠OCD=180°．
（3）当0＜t＜16时，三角形OCF的面积=$\frac{1}{2}$×OF•FC=$\frac{1}{2}×$（t+4）（8$-\frac{1}{2}$t）=$-\frac{1}{4}{t}^{2}+3t+16$，
当t＞16时，三角形OCF的面积=$\frac{1}{2}$×OF•FC=$\frac{1}{2}×$（t+4）（$\frac{1}{2}$t-8）=$\frac{1}{4}{t}^{2}-3t-16$，
∴s与t的函数关系式为s=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+3t+16（0＜t＜16）}\\{\frac{1}{4}{t}^{2}-3t-16（t＞16）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t的式子表示点C的坐标是解题的关键．