Question

16．一个边长为2cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为（　　）cm．

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，OF⊥CE于F，连结OC，如图，根据等边三角形的性质得BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=1，∠ACB=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$，再根据切线的性质得OC⊥BC，则OC=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，接着利用垂径定理得到CF=EF，再计算出∠OCF=30°，然后在Rt△OCF中利用∠OCF的余弦可计算出CF，从而得到CE的长．

解答 解：作AH⊥BC于H，OF⊥CE于F，连结OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=1，∠ACB=60°，
∴AH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵等边三角形ABC与⊙O等高，
∴OC=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵OF⊥CE，
∴CF=EF，
∵∠OCF=∠OCB-∠ACB，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OCF中，∵cos∠OCF=$\frac{CF}{OC}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴CE=2CF=$\frac{3}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等边三角形的性质．