Question

7．如图，平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），双曲线y=-$\frac{1}{x}$，动点P在双曲线上，PQ⊥x轴于Q，若△OPQ与△OAB相似，则满足题意的点P一共有（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由A（0，2）、B（1，0），可求得OA与OB的长，然后分别从当$\frac{PQ}{BO}$=$\frac{OQ}{OA}$，即OQ=2PQ时，△OPQ∽△ABO与当 $\frac{PQ}{OA}$，即PQ=2OQ时，△OPQ∽△BAO去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵A（0，2）、B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵PQ⊥x轴，
∴∠PQO=∠AOB=90°，
当$\frac{PQ}{BO}$=$\frac{OQ}{OA}$，即OQ=2PQ时，△OPQ∽△ABO，
设点P（x，-$\frac{1}{2}$x），
∴-$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{x}$，解得x=±$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
当$\frac{PQ}{AO}$=$\frac{OQ}{OB}$，即PQ=2OQ时，△OPQ∽△BAO，设点P（x，-2x），
∴-2x=-$\frac{1}{x}$，解得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴点P的坐标是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
综上可得，点P的坐标是（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 此题考查的是反比例函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质以及反比例函数上点的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用，